(2008•武漢模擬)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,ED=4,EO的延長線交⊙O于F,連DF、AF,求△ADF的面積.
分析:(1)連接OD,CD,求出∠BDC=90°,根據(jù)OE∥AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根據(jù)SSS證△ECO≌△EDO,推出∠EDO=∠ACB=90°即可;
(2)過O作OM⊥AB于M,過F作FN⊥AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值,根據(jù)sin∠BAC=
BC
AB
=
OM
OA
=
8
10
,求出OM,根據(jù)cos∠BAC=
AC
AB
=
AM
OA
=
3
5
,求出AM,根據(jù)垂徑定理求出AD,代入三角形的面積公式求出即可.
解答:(1)證明:連接OD,CD,
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠CDA=90°=∠BDC,
∵OE∥AB,CO=AO,
∴BE=CE,
∴DE=CE,
∵在△ECO和△EDO中
DE=CE
EO=EO
OC=OD
,
∴△ECO≌△EDO,
∴∠EDO=∠ACB=90°,
即OD⊥DE,OD過圓心O,
∴ED為⊙O的切線.

(2)解:過O作OM⊥AB于M,過F作FN⊥AB于N,
則OM∥FN,∠OMN=90°,
∵OE∥AB,
∴四邊形OMFN是矩形,
∴FN=OM,
∵DE=4,OC=3,由勾股定理得:OE=5,
∴AC=2OC=6,
∵OE∥AB,
∴△OEC∽△ABC,
OC
AC
=
OE
AB
,
3
6
=
5
AB

∴AB=10,
在Rt△BCA中,由勾股定理得:BC=
102-62
=8,

sin∠BAC=
BC
AB
=
OM
OA
=
8
10
,
OM
3
=
4
5
,
OM=
12
5
=FN,
∵cos∠BAC=
AC
AB
=
AM
OA
=
3
5

∴AM=
9
5

由垂徑定理得:AD=2AM=
18
5
,
即△ADF的面積是
1
2
AD×FN=
1
2
×
18
5
×
12
5
=
108
25

答:△ADF的面積是
108
25
點評:本題考查了切線的性質(zhì)和判定,勾股定理,三角形的面積,垂徑定理,直角三角形的斜邊上中線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的運用,通過做此題培養(yǎng)了學生的分析問題和解決問題的能力,本題綜合性比較強,有一定的難度.
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