Question

已知：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，點E在對角線AC上，且CE=6，動點P在矩形ABCD的四邊上運動一周，則以P、E、C為頂點的等腰三角形有（　　）個．

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分為四種情況：P在BC上，P在CD上，P在AD上，P在AB上，在每種情況又分為三種情況①CE=PE，②PE=PC，③CE=CP，①CE=PE，分別求出對應(yīng)的值，和CD、AD、AB比較即可．

解答：解：（1）P在BC上：①CP=CE=6＜12，此時有一點P；
②CE=PE=6時，
過E作EN⊥BC于N，
cos∠ACB=

12

13

=

CN

CE

，
CN=

72

13

，
CP=2CN=

144

13

＜12，此時有1點P；
③CP=EP時，
P在CE的垂直平分線MN（M為垂足）上，CM=EM=3，
cos∠ACB=

12

13

=

CM

CP

，
CP=

39

12

＜12，存在一點P；
（2）P在CD上：①PE=PC，
此時P在CE的垂直平分線MN（M為垂足）上，
CM=EM=3，
cos∠ACD=

5

13

=

CM

CP

，
CP=

39

5

＞5，
即P在CD的延長線上，此時不存在P點；
②CE=CP=6＞CD，此時不存在P點；
③EP=CE=6，
過E作EN⊥CD于N，
cos∠ACD=

5

13

=

CN

CE

，
CN=

30

13

，
CP=2CN=

60

13

＜CD，即此時存在一點P；
（3）P在AD上：①PE=CP，
過P作PM⊥AC于M，CM=EM=3，AM=13-3=10，
cos∠DAC=

12

13

=

AM

AP

，
AP=

130

12

＜12，即此時存在一點P；
②CE=PC，
PD=

62-52

=

11

＜12，此時存在一點P；
③PE=CE=6，
sin∠DAC=

5

13

=

EM

AE

，
EM=

35

13

，
AM=

72-( 35 13 )2

=

42

13

，PM=

62-( 35 13 )2

=

4429

13

，
AP=

42

13

-

4429

13

，AP′=

42

13

+

4429

13

，即存在2點P；

（4）P在AB上：①CP=PE，即P在CE的垂直平分線MN（M為垂足）上，
cos∠ACB=

12

13

=

CM

CP

，
CP=

39

12

＜12，即CP小于C到AB的最短距離，即此時不存在P點；
②CE=CP=6＜12，
∵C到AB的最短距離是12，
∴此時不存在P點；
③CE=PE=6，AE=13-6=7，
過E作EM⊥AB于M，
sin∠BAC=

12

13

=

EM

AE

，
EM=

84

13

＞PE，
即E到AB的最短距離大于PE，
即此時不存在P點；
綜合上述：共有（1+1+1）+1+（1+1+2）+0=8．
故選D．

點評：本題考查了對等腰三角形的判定和矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過作圖求出符合條件的所有情況，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．