(2013•宜昌)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,經(jīng)過O,C兩點(diǎn)做拋物線y1=ax(x-t)(a為常數(shù),a>0),該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E,直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0)

(1)填空:用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值:A
(t,4)
(t,4)
,k=
4
t
(k>0)
4
t
(k>0)
;
(2)隨著三角板的滑動(dòng),當(dāng)a=
1
4
時(shí):
①請你驗(yàn)證:拋物線y1=ax(x-t)的頂點(diǎn)在函數(shù)y=-
1
4
x2
的圖象上;
②當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求t的值;
(3)直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,當(dāng)t≤x≤t+4,|y2-y1|的值隨x的增大而減小,當(dāng)x≥t+4時(shí),|y2-y1|的值隨x的增大而增大,求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度;把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值;
(2)①求得拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后把該坐標(biāo)代入函數(shù)y=-
1
4
x2
,若該點(diǎn)滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=-
1
4
x2
,即表示該頂點(diǎn)在函數(shù)y=-
1
4
x2
圖象上;反之,該頂點(diǎn)不在函數(shù)y=-
1
4
x2
圖象上;
②如圖1,過點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K.則EK是△ACB的中位線,所以根據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)E的坐標(biāo),把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線y1=
1
4
x(x-t)即可求得t=2;
(3)如圖2,根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是
4
at
+4.則t+4=
4
at
+4,由此可以求得a與t的關(guān)系式.
解答:解:(1)∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(t,4).
又∵直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0),
∴4=kt,則k=
4
t
(k>0).

(2)①當(dāng)a=
1
4
時(shí),y1=
1
4
x(x-t),其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
t
2
,-
t2
16
).
對于y=-
1
4
x2
來說,當(dāng)x=
t
2
時(shí),y=-
1
4
×
t2
4
=-
t2
16
,即點(diǎn)(
t
2
,-
t2
16
)在拋物線y=-
1
4
x2
上.
故當(dāng)a=
1
4
時(shí),拋物線y1=ax(x-t)的頂點(diǎn)在函數(shù)y=-
1
4
x2
的圖象上;

②如圖1,過點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K.
∵AC⊥x軸,
∴AC∥EK.
∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),
∴K為BC的中點(diǎn),
∴EK是△ACB的中位線,
∴EK=
1
2
AC=2,CK=
1
2
BC=2,
∴E(t+2,2).
∵點(diǎn)E在拋物線y1=
1
4
x(x-t)上,
1
4
(t+2)(t+2-t)=2,
解得t=2.

(3)如圖2,
y=
4
t
x
y=ax(x-t)
,則
4
t
x=ax(x-t),
解得x=
4
at
+t,或x=0(不合題意,舍去)..
故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是
4
at
+t.
當(dāng)x=
4
at
+t時(shí),|y2-y1|=0,由題意得t+4=
4
at
+t,
解得a=
1
t
(t≥4).
點(diǎn)評(píng):本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn).解題時(shí),注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.
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