Question

【題目】（1）如圖1，已知：在和中，，，分別在上，連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是

（2）如圖2所示，已知：正方形將斜邊的中點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)落在正方形的邊上，的兩直角邊分別交邊于兩點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)重合)，求證：；

（3）如圖3，若將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交邊于兩點(diǎn)，如圖3所示：判斷四條線段之間是否存在什么確定的相等關(guān)系？若存在，證明你的結(jié)論．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=2OM， AD⊥OM；理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）PF2+FQ2=EP2+GQ2．理由見(jiàn)解析；

【解析】

（1）證出△AOD≌△BOC（SAS），得出AD=BC，∠OAD=∠OBC，由直角三角形的性質(zhì)得出OM=BC=BM=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBC=∠MOB，證出∠OND=90°，即可得出AD⊥OM；
（2）過(guò)E作EH∥FG交DA延長(zhǎng)線于H，則∠AEH=∠G，證出△EAH≌△GAQ（ASA），得出EH=QG，AH=AQ，證出∠HEF=∠HEP=90°，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出PQ=PH．在Rt△EPH中，由勾股定理得出EP2+EH2=PH2，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)E作EH∥FG交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連PH、PQ，證△EAH≌△GAQ，得出EH=QG；再證PQ=PH．在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，得出EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，即可得出PF2+FQ2=EP2+GQ2．

（1）解：線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；理由如下：

設(shè)AD與OM交于點(diǎn)N，如圖1所示：
在△AOD和△BOC中，

，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC，
∵點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，∠BOC=90°，
∴OM=BC=BM，
∴OM=AD，∠OBC=∠MOB，
∴AD=2OM，∠OAD=∠MOB，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠MOB+∠ODA=90°，
∴∠OND=90°，
∴AD⊥OM；
（2）證明：過(guò)E作EH∥FG交DA延長(zhǎng)線于H，如圖2所示：
則∠AEH=∠G，

∵EG的中點(diǎn)與點(diǎn)A重合，
∴AE=AG，
在△EAH和△GAQ中，

，
∴△EAH≌△GAQ（ASA），
∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH．
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PQ2．
（3）解：PF2+FQ2=EP2+GQ2．理由如下：
過(guò)E作EH∥FG交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連PH、PQ，如圖3所示：
同（2）得△EAH≌△GAQ（ASA），

∴EH=QG，AH=AQ，
∵∠G+∠GEF=90°，
∴∠AEH+∠GEF=90°，
即∠HEF=∠HEP=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴AP⊥AQ，
∴PQ=PH，
在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，
∴EP2+GQ2=PH2．
在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，
∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．