如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點P滿足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β,則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.
小題1:在圖(3)正方形ABCD內(nèi)畫一個半等角點P,且滿足α≠β;
小題2:在圖(4)四邊形ABCD中畫出一個半等角點P,保留畫圖痕跡(不需寫出畫法);
小題3:若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P2(如圖(2)),證明線段P1P2上任一點也是它的半等角點.

小題1:所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點.(2分)
小題2:畫點B關(guān)于AC的對稱點B’,延長DB’交AC于點P,點P為所求(不寫文字說明不扣分).(3分)
小題3:連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意,

∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C,
∴∠AP1B+∠BP1C=180度.
∴P1在AC上,
同理,P2也在AC上.
在△DP1P2和△BP1P2中,
∠DP2P1=∠BP2P1,∠DP1P2=∠BP1P2,P1P2公共,
∴△DP1P2≌△BP1P2
所以DP1=BP1,DP2=BP2,于是B、D關(guān)于AC對稱.
設(shè)P是P1P2上任一點,連接PD、PB,由對稱性,得∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC,
所以點P是四邊形的半等角點.(5分)
(1)根據(jù)題意可知,所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點.因為在圖形內(nèi)部,所以不能是AC的端點,又由于α≠β,所以不是AC的中點.
(2)畫點B關(guān)于AC的對稱點B’,延長DB’交AC于點P,點P為所求.(因為對稱的兩個圖形完全重合)
(3)先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根據(jù)題意∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度.∴P1在AC上,同理,P2也在AC上,再利用ASA證明△DP1P2≌△BP1P2而,那么△P1DP2和△P1BP2關(guān)于P1P2對稱,P是對稱軸上的點,所以∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC.即點P是四邊形的半等角點
練習冊系列答案
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