Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)D、M分別在邊AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)D和M，反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)為N．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在直線DM上，且使△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵正方形OABC的頂點(diǎn)C（0，3），

∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，

∵AD=2DB，

∴AD= AB=2，

∴D（﹣3，2），

把D坐標(biāo)代入y= 得：m=﹣6，

∴反比例解析式為y=﹣ ，

∵AM=2MO，

∴MO= OA=1，即M（﹣1，0），

把M與D坐標(biāo)代入y=kx+b中得： ，

解得：k=b=﹣1，

則直線DM解析式為y=﹣x﹣1；

（2）

解：把y=3代入y=﹣ 得：x=﹣2，

∴N（﹣2，3），即NC=2，

設(shè)P（x，y），

∵△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，

∴ （OM+NC）OC= OM|y|，即|y|=9，

解得：y=±9，

當(dāng)y=9時，x=﹣10，當(dāng)y=﹣9時，x=8，

則P坐標(biāo)為（﹣10，9）或（8，﹣9）

【解析】（1）由正方形OABC的頂點(diǎn)C坐標(biāo)，確定出邊長，及四個角為直角，根據(jù)AD=2DB，求出AD的長，確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，確定出MO的長，即M坐標(biāo)，將M與D坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；（2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，確定出N坐標(biāo)，得到NC的長，設(shè)P（x，y），根據(jù)△OPM的面積與四邊形OMNC的面積相等，求出y的值，進(jìn)而得到x的值，確定出P坐標(biāo)即可．此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及三角形面積計(jì)算，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．