【題目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處,使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).
(1)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)在(1)的條件下,若,求∠AED的度數(shù);
(3)若BC=4,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),連結(jié)DM,DM與AC交于點(diǎn)O,當(dāng)三角板的邊DF與邊DM重合時(shí)(如圖2),若,求DN的長(zhǎng).
【答案】解:(1)CE=AF,證明見解析;(2)135°;(3) .
【解析】
(1)由正方形額等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出△ADF≌△CDE即可;
(2)設(shè)DE=k,表示出AE,CE,EF,判斷出△AEF為直角三角形,即可求出∠AED;
(3)證△MAO∽△DCO得 ,由勾股定理得DM=2,據(jù)此求得DO= ,結(jié)合OF= 知DF=,再證△DFN∽△DCO得,據(jù)此計(jì)算可得.
解:(1)CE=AF,
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中,FD=DE,CD=CA,∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADF=∠CDE,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴CE=AF;
(2)設(shè)DE=k,
∵DE:AE:CE=1::3
∴AE=k,CE=AF=3k,
∴EF=k,
∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2,AF2=9k2,
即AE2+EF2=AF2
∴△AEF為直角三角形,
∴∠BEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°;
(3)∵M是AB的中點(diǎn),
∴MA=AB=AD,
∵AB∥CD,
∴△MAO∽△DCO,
∴,
在Rt△DAM中,AD=4,AM=2,
∴DM=2,
∴DO=,
∵OF=,
∴DF=,
∵∠DFN=∠DCO=45°,∠FDN=∠CDO,
∴△DFN∽△DCO,
∴ ,即 ,
∴DN= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,分別以頂點(diǎn)A、B為圓心,大于AB為半徑作弧,兩弧在直線AB兩側(cè)分別交于M、N兩點(diǎn),過M、N作直線MN,與AB交于點(diǎn)O,以O為圓心,OA為半徑作圓,⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)C.下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是( )
A.AB是⊙O的直徑B.∠ACB=90°
C.△ABC是⊙O內(nèi)接三角形D.O是△ABC的內(nèi)心
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接CP.
(1)如圖1,若∠PCB=∠A.
①求證:直線PC是⊙O的切線;
②若CP=CA,OA=2,求CP的長(zhǎng);
(2)如圖2,若點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,MNMC=9,求BM的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C,作CD垂直x軸于點(diǎn)D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),求m的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,2),以點(diǎn)O為圓心,以OA1長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于點(diǎn)B1.過B1點(diǎn)作B1A2∥y軸,交直線y=2x于點(diǎn)A2,以O為圓心,以OA2長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于點(diǎn)B2;過點(diǎn)B2作B2A3∥y軸,交直線y=2x于點(diǎn)A3,以點(diǎn)O為圓心,以OA3長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于點(diǎn)B3;過B3點(diǎn)作B3A4∥y軸,交直線y=2x于點(diǎn)A4,以點(diǎn)O為圓心,以OA4長(zhǎng)為半徑畫弧,交直線于點(diǎn)B4,…按照如此規(guī)律進(jìn)行下去,點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A(-2,0),B(0,1),以線段AB為邊在第二象限作矩形ABCD,雙曲線(k<0)經(jīng)過點(diǎn)D,連接BD,若四邊形OADB的面積為6,則k的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,連接BC
(1)點(diǎn)G是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),過點(diǎn)G作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E,作GF⊥BC于點(diǎn)F,點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且MN=EF,連接DM、GN.當(dāng)△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí),求DM+MN+NG的最小值;
(2)如圖2,連接BD,點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn),點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),連接DQ,將△DPQ沿PQ翻折,且線段D′P的中點(diǎn)恰好落在線段BQ上,將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′OC′,點(diǎn)T為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)Q、A′、C′、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,F為AB上一點(diǎn),E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且AF=EC,連結(jié)EF,DE,DF,M是FE中點(diǎn),連結(jié)MC,設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N.則4個(gè)結(jié)論:①DE=DF;②∠CME=∠CDE;③DG2=GN GE;④若BF=2,則正確的結(jié)論有( )個(gè).
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,反比例函數(shù) y x 0 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A2,3 ,直線y ax , y 與反比例函數(shù) y x 0 分別交于點(diǎn) B,C兩點(diǎn).
(1)直接寫出 k 的值 ;
(2)由線段 OB,OC和函數(shù) y x 0 在 B,C 之間的部分圍成的區(qū)域(不含邊界)為 W.
① 當(dāng) A點(diǎn)與 B點(diǎn)重合時(shí),直接寫出區(qū)域 W 內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù) ;
② 若區(qū)域 W內(nèi)恰有 8個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出 a的取值范圍 .
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