Question

11．已知二次函數的圖象經過點（1，10），且當x=-1時，y有最小值y=-2，
（1）求這個函數的關系式；
（2）x取何值時，y隨x的增大而減�。�
（3）當-2＜x＜4時，求y的取值范圍；
（4）x取何值時，y＜0．

Answer 1

分析 （1）已知當x=-1時，二次函數有最小值y=-2，故拋物線的頂點坐標為（-1，-2），設出頂點式，代入點（1，10）求解即可；
（2）直接利用函數對稱軸以及開口方向得出x的取值范圍；
（3）利用二次函數增減性求出y的取值范圍；
（4）利用y=0時求出x的值，進而得出答案．

解答 解：（1）∵當x=-1時，y有最小值y=-2，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，-2）
設二次函數的解析式為y=a（x+1）²-2，由于拋物線過點（1，10），則有：
a（1+1）²-2=10，
解得a=3；
故拋物線的解析式為：y=3（x+1）²-2；

（2）∵a=3＞0，對稱軸為：直線x=-1，
∴當x＜-1時，y隨x的增大而減小；

（3）∵當x=-2時，y=3-2=1，當x=4時，y=3×5²-2=73，
∴當-2＜x＜4時，y的取值范圍是：-2≤y＜73；

（4）當y=0時，0=3（x+1）²-2，
解得：x₁=-1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，x₂=-1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故當-1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜x＜-1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，y＜0．

點評 此題主要考查待定系數法求函數解析式以及二次函數增減性等知識，用待定系數法求二次函數解析式，要找出題目敘述的關鍵點，正確設出函數解析式，代入求得答案即可．