Question

【題目】如圖，點A（0，8），點B（4，0），連接AB，點M，N分別是OA，AB的中點，在射線MN上有一動點P．若△ABP是直角三角形，則點P的坐標是__．

Answer 1

【答案】（2+2，4）或（12，4）．

【解析】

如圖，∠APB=90°，∠ABP=90°，∠BAP=90°均可以使△ABP是直角三角形，故本題應(yīng)該對這三種情況分別進行討論.

(1) ∠APB=90°，如圖①.

過點P作PG⊥OB，垂足為G.

∵點A的坐標為(0, 8)，點B的坐標為(4, 0)，

∴OA=8，OB=4.

∴在Rt△AOB中， .

∵點M，N分別是OA，AB的中點，

∴MN∥OB， ， .

∵MN∥OB，PG⊥OB，

∴PG=OM=4.

設(shè)PN=x，則MP=MN+PN=2+x，

∵OG=MP=2+x，

∴BG=OG-OB=2+x-4=x-2.

∵在Rt△AMP中，AP2=AM2+PM2=42+(2+x)2=16+(2+x)2，

在Rt△BGP中，BP2=BG2+PG2=(x-2)2+42=(x-2)2+16，

又∵在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2，

∴16+(2+x)2+(x-2)2+16==80.

∴x=，即PN=.

∵OG=2+x=，PG =4.

∴點P的坐標為(, 4).

(2) ∠ABP=90°，如圖②.

過點P作PG⊥OB，垂足為G.

設(shè)PN=x，則MP=OG=2+x，BG=x-2.

∵，AM=4，PG=4，

又∵在Rt△AMP中，AP2=16+(2+x)2，

在Rt△BGP中，BP2=(x-2)2+16，

∴在Rt△APB中，AB2=AP2-BP2=16+(2+x)2-[(x-2)2+16]= =80.

∴x=10即PN=10.

∵OG=2+x=2+10=12，PG=4.

∴點P的坐標為(12, 4).

(3) ∠BAP=90°，如圖③.

由圖③可以看出，在此種情況下點P不在射線MN上，不符合題意.

綜上所述，點P的坐標為(, 4)或(12, 4).

故本題應(yīng)填寫：(, 4)或(12, 4).