Question

【題目】學(xué)完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，是中邊上的-點，過點、分別作、、、，垂足分別為點、、，由與的面積之和等于的面積，有等量關(guān)系式：.像這種利用同一平面圖形的兩種面積計算途徑可以得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系式，從而用于解決數(shù)學(xué)問題的方法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題.

圖(1) 圖(2)

(1)如圖(1)， 矩形中，，，點是上一點，過點作，，垂足分別為點、，求的值；

(2)如圖(2)，在中，角平分線、相交于點，過點分別作、，垂足分別為點、，若，，求四邊形的周長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90°，AO=CO，BO=DO，由“等積法”可求解；

（2）由“等積法”可求OM=ON=1，通過證明四邊形AMON是正方形，即可求解.

解：（1）如圖，連接，

則由矩形性質(zhì)有：

又

∴

∴

解得：；

（2）連接，過點作，垂足為點，

又是的角平分線，、，垂足分別為點、，

，

在中，

設(shè)，則

解得：

四邊形是矩形

又

矩形是正方形

正方形的周長.