Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點E．
（1）求證：AE•AO=BF•BO；
（2）若點E的坐標為（2，4），求經過O、E、F三點的拋物線的解析式；
（3）是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出此時的OF的長：若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵E，F(xiàn)點都在反比例函數(shù)圖象上，

∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質得出，，
∴AE•AO=BF•BO；
（2）∵點E的坐標為（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=，
∴F（6，），
分別代入二次函數(shù)解析式得：，
解得：，
∴；
（3）如果設折疊之后C點在OB上的對稱點為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點G，則根據(jù)折疊性質、相似三角形、勾股定理有以下幾個關系可以考慮：
設BC'=a，BF=b，則C'F=CF=．
∴點的坐標F（6，b），E（1.5b，4）．
EC'=EC=，
∴在Rt△C'BF中， ①
∵Rt△EGC'與∽Rt△C'BF，
∴（）：（）=4：a=（）：b ②，
解得：，
∴F點的坐標為（6，）．
∴FO= ．

略