Question

（1997•重慶）已知如圖，正方形ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連接BE，作CF⊥BE于P交AD于F點(diǎn)，若恰好使得AP=AB．求證：E為DC中點(diǎn)．

Answer 1

分析：過A作AM⊥BE與M，根據(jù)條件可以得出△ABM≌△BCP，可以得出AP=AB，進(jìn)而可以得出△ABM∽△BEC由相似三角形的性質(zhì)就得出CE=

1

2

DC，從而可以得出結(jié)論．

解答：證明：過A作AM⊥BE與M．
∴∠AMB=∠AMP=90°，
∴∠1+∠3=90°   
∵BE⊥CF
∴∠4=90°
∴∠AMB=∠4    
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°．
即∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3
∵在△ABM和△BCP中，

∠AMB=∠4 ∠3=∠2  AB=BC

，
∴△ABM≌△BCP（AAS）
∴AM=BP   
∵AP=AB，AM⊥BE，
∴BM=

1

2

BP=

1

2

AM．
∵∠2=∠3，∠AMB=∠BCE，
∴△ABM∽△BEC
∴

BM

AM

=

CE

BC

=

1

2

∵BC=DC
∴CE=

1

2

DC．
∴E為DC中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．