Question

求兩個不同的自然數(shù)，其算術(shù)平均數(shù)A和幾何平均數(shù)G（指兩數(shù)積的算術(shù)平方根）都是兩位數(shù)，且A，G中一個可由另一個變換十位數(shù)字與個位數(shù)字得到．

Answer 1

分析：首先設(shè)兩個不同的自然數(shù)x，y，根據(jù)題意可表示出A與G的值，即可求得以x，y為兩根的二次方程，則可確定判別式△的取值，再設(shè)兩位數(shù)A=10m+n，則G=10n+m（m，n是數(shù)字），代入判別式△，由△是完全平方數(shù)，即可列得方程組，求解方程組，則可求得答案．

解答：解：設(shè)兩個不同的自然數(shù)x，y，
則A=

x+y

2

，G=

xy

，
∴

x+y=2A xy= G 2

，
∴以x，y為兩根的二次方程：t²-2At+G²=0，
∵x，y是自然數(shù)，
∴△=（2A）²-4G²=4（A²-G²）=4（A+G）（A-G），
又設(shè)兩位數(shù)A=10m+n，則G=10n+m（m，n是數(shù)字），
∴△=4（11m+11n）（9m-9n）=36×11×（m+m）（m-n）是完全平方數(shù)，
又∵1＜m+n≤18，0＜m-n≤8，
∴

m+n=11 m-n=1

或

m+n=11 m-n=4

（不合）
解得m=6，n=5．
∴A=65G=56t²-130t+56²=0，
解得t₁=98，t₂=32．
答：兩個不同自然數(shù)為98和32．

點評：此題考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用，二次方程的判別式，完全平方數(shù)以及算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)等知識．此題綜合性很強，注意分析，合理應(yīng)用判別式的知識是解此題的關(guān)鍵．