Question

如圖在梯形ABCD中，兩對角線AC、BD互相垂直于O點，且AC=6、BD=8，試求梯形ABCD的中位線MN及高h的長．

Answer 1

分析：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，并延長MN交DE于K，交BD、AC于G、H，那么根據(jù)平行四邊形的判定可知，四邊形ACED是平行四邊形，即可得AD=CE，于是梯形的上下底都轉(zhuǎn)化到了△BDE中，即BE=AD+BC，那么MN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×BE，再根據(jù)AC⊥BD，AC∥DE，可證△BDE是直角三角形，利用勾股定理可求BE，從而得出MN，也可以發(fā)現(xiàn)，△BDE的面積就等于梯形ABCD的面積，利用三角形的面積公式可求出梯形的高．

解答：解：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，并延長MN交DE于K，交BD、AC于G、H，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，AC=DE，
又∵MN是梯形ABCD的中位線，
∴MN=

1

2

（AD+BC），
∴MN=

1

2

（CE+BC）=

1

2

BE
又∵AC∥DE，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴BE=

BD2+DE2

=

62+82

=10，
∴MN=5，
又∵S_△BDE=

1

2

BD×DE=

1

2

BE×h，
∴h=4.8．

點評：本題利用了梯形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形的面積公式等知識．關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行四邊形．