Question

如圖，二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結論．
（4）求出當x為何值時P有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）由頂點坐標（0，2）可直接代入y=-mx²+4m，求得m=，即可求得拋物線的解析式．
（2）由圖及四邊形ABCD為矩形可知AD∥x軸，長為2x的據(jù)對值，AB的長為A點的總坐標，由x與y的關系，可求得p關于自變量x的解析式，因為矩形ABCD在拋物線里面，所以x小于0，大于拋物線與x負半軸的交點．
（3）由（2）得到的p關于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解則存在，無解則不存在，顯然不存在這樣的p．
（4）此題就是將p關于x的解析式看成拋物線的解析式，求其頂點即可．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），
∴4m=2，
即m=，所以次拋物線的解析式為：y=-x²+2．

（2）∵A點在x軸的負方向上坐標為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，
∴AD∥x軸，
又由拋物線關于y軸對稱，
所以D、C點關于y軸分別與A、B對稱．
所以AD的長為-2x，AB長為y，
所以周長p=2y-4x=2（-x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x軸的負半軸上，
∴x＜0，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
證明：假設存在這樣的p，即：
9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x無解，所以不存在這樣的p．

（4）由p=-（x+2）²+8，且-2＜x＜0．
故p沒有最大值．
點評：本題考查的二次函數(shù)與幾何矩形相結合的應用，比較綜合，只要熟練二次函數(shù)的性質，數(shù)形結合，此題算是中檔題，考點還是比較基礎的．