Question

把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．

（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（要有輔助線喲�。�

（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，若存在，求出此時(shí)x值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）BH=CK，四邊形CHGK的面積不變；

（2）x²-2x+4, 0＜x＜4；

（3）當(dāng)x=1或x=3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的

【解析】（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變

連接CG，

∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點(diǎn)，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH與△CGK中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC=××4×4=4即：S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，Bk=x，∴CH=4-x，CK=x，連接HK．

由S_△GHK=S_{四邊形CHGK}-S_△CHK，得y=4-x（4-x）=x²-2x+4   由0°＜α＜90°，

得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；

（3）存在．根據(jù)題意，得x²-2x+4=×8     

解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=3，

即：當(dāng)x=1或x=3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的.