Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且PE＝PB．

(1)求證：PE＝PD；

(2)求∠PED的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）45°

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)四條邊都相等可得BC=CD，對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得∠ACB=∠ACD，然后利用“邊角邊”證明△PBC和△PDC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PB=PD，然后等量代換即可得證；

（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PBC=∠PDC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PBC=∠PEB，從而得到∠PDC=∠PEB，再根據(jù)∠PEB+∠PEC=180°，求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠DPE=90°，判斷出△PDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

∵，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PE=PD；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△PBC≌△PDC，

∴∠PBC=∠PDC，

∵PE=PB，

∴∠PBC=∠PEB，

∴∠PDC=∠PEB，

∵∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PDC+∠PEC=180°，

在四邊形PECD中，∠EPD=360°(∠PDC+∠PEC)∠BCD=360°180°90°=90°，

又∵PE=PD，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴∠PED=45°．