Question

“家友超市”購進(jìn)一批成本價20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式．
（1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)“家友超市”銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4420元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，然后根據(jù)圖象找出直線上兩點的坐標(biāo)當(dāng)然其中，得到關(guān)于k、b的方程組，由此即可求解；
（2）由于為成本價20元/千克，銷售量為y（千克），銷售單價為x，根據(jù)利潤=銷售量×（售價-成本價）即可求解；
（3）利用（2）的函數(shù)解析式即可得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
由題意得

30k+b=400 40k+b=200

，
解之得

k=-20 b=1000

，
∴函數(shù)解析式為y=-20x+1000；

（2）由題意得P=（x-20）（-20x+1000），
則P=-20x²+1400x-20000（30≤x≤50）
∵-

b

2a

=35，在30≤x≤50范圍內(nèi)，
∴當(dāng)銷售價x=35元/千克時，超市有最大利潤P=4500元；

（3）當(dāng)P=4420時，4420=-20x²+1400x-20000，解得 x₁=33，x₂=37，
當(dāng)P=4180時，4180=-20x²+1400x-20000，解得 x₁=31，x₂=39，
∴綠色食品銷售單價為31≤x≤33，37≤x≤39的范圍時符合要求．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．