Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1) 求證：BE是⊙O的切線

(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠DBA

【解析】（1）連接OB，OD，根據(jù)線段垂直平分線的判定，證得BF為線段AD的垂直平分線，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ADC=90°，證得四邊形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出結(jié)論.

（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求出OF的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BF、DE、OB、OD的長(zhǎng)，然后根據(jù)等角的三角函數(shù)求解即可.

證明：(1) 連接BO并延長(zhǎng)交AD于F，連接OD

∵BD＝BA，OA＝OD

∴BF為線段AD的垂直平分線

∵AC為⊙O的直徑

∴∠ADC＝90°

∵BE⊥DC

∴四邊形BEDF為矩形

∴∠EBF＝90°

∴BE是⊙O的切線

(2) ∵O、F分別為AC、AD的中點(diǎn)

∴OF＝CD＝

∵BF＝DE＝1＋3＝4

∴OB＝OD＝

∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝