如圖 
(1)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-8,0),直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(-8,6),C(0,6),將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度得到四邊形OA′B′C′,此時(shí)直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q.
(1)四邊形OABC的形狀是
矩形
矩形
,當(dāng)a=90°時(shí),
BP
BQ
的值是
4
7
4
7

(2)①如圖(2),當(dāng)四邊形OA′B′C′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)△POQ的面積為
45
2
時(shí),求
BP
BQ
的值;
②如圖(3),當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí),求△OPB′的面積.
(3)在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)0<a≤180°時(shí),是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,使BP=
1
2
BQ?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OABC是矩形,當(dāng)α=90°時(shí),可知
BP
PQ
=
4
3
,根據(jù)比例的性質(zhì)得出
BP
BQ
=
4
7
;
(2)①連接利用三角形的面積公式求出PQ的長,所以PC+CQ=
15
2
,又因?yàn)锽P+PC=BC=8,BP-CQ=
1
2
,進(jìn)而求出BP的值,從而BQ可求,所以
BP
BQ
=
3
21
2
=
3
7
;②根據(jù)勾股定理求得PB′的長,再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算;
(3)在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)0<a≤180°時(shí),存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,使BP=
1
2
BQ.構(gòu)造全等三角形和直角三角形,運(yùn)用勾股定理求得PC的長,進(jìn)一步求得坐標(biāo).
解答:解:(1)∵O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-8,0),直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(-8,6),C(0,6),
∴OA=BC=8,OC=AB=6,∠AOA′=90°,
∴四邊形OABC的形狀是矩形;
當(dāng)α=90°時(shí),P與C重合,如右圖1,
根據(jù)題意,得
BP
PQ
=
4
3
,則
BP
BQ
=
4
7
;

(2)①連接OQ,如圖2,
∵S△POQ=
1
2
PQ•OC=
45
2
,OC=6,
∴PQ=
15
2
,
∴PC+CQ=
15
2
,
∵BP+PC=BC=8,
∴BP-CQ=
1
2
,
∴BP=3,CQ=
5
2
,
∴BQ=3+
15
2
=
21
2
,
BP
BQ
=
3
21
2
=
3
7
;
②如圖3,
∵在△OCP和△B′A′P中,
∠OPC=∠B′PA′
∠OCP=∠A′=90°
OC=B′A′
,
∴△OCP≌△B′A′P(AAS).
∴OP=B′P.設(shè)B′P=x,
在Rt△OCP中,(8-x)2+62=x2
解得x=
25
4
,
∴S△OPB′=
1
2
×
25
4
×6=
75
4


(3)存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q,使BP=
1
2
BQ.
理由如下:過點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H,連接OQ,則QH=OC′=OC,
∵S△POQ=
1
2
PQ•OC,S△POQ=
1
2
OP•QH,
∴PQ=OP.
設(shè)BP=x,∵BP=
1
2
BQ,
∴BQ=2x,
如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),
OP=PQ=BQ+BP=3x,
在Rt△PCO中,(8+x)2+62=(3x)2,
解得x1=1+
3
6
2
,x2=1-
3
6
2
,(不符實(shí)際,舍去).
∴PC=BC+BP=9+
3
6
2

∴P1(-9-
3
6
2
,6),
如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),
∴OP=PQ=BQ-BP=x,PC=8-x.
在Rt△PCO中,(8-x)2+62=x2,解得x=
25
4
,
∴PC=BC-BP=8-
25
4
=
7
4

∴P2(-
7
4
,6),
綜上可知,存在點(diǎn)P1(-9-
3
6
2
,6),P2(-
7
4
,6)使BP=
1
2
BQ.
故答案為:矩形;
4
7
點(diǎn)評:本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理.特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等,能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊,根據(jù)勾股定理列方程求解.
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