Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交x軸于A(-4，0),B（1，0),交y軸于C點(diǎn)，且OC=2OB.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在直線(xiàn)BC上找點(diǎn)D，使△ABD為以AB為腰的等腰三角形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在拋物線(xiàn)上是否存在異于B的點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥AC于Q，使△APQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)有D1 ，D2，D3(1,4)；

（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有P和P′

【解析】解：（1）依題意得， ，解得， ，

∴拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）①以AD為底時(shí)，AB=BD，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，則，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=2x2，

設(shè)D（x，2x2），由（2x2）2+（1x）2=25，解得，

∴D1 ，D2，

②以BD為底時(shí)，AB=AD，

B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D3（1，4），

綜上所述，滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)有D1 ，D2，D3（1，4）；

∵AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí)，

設(shè)（2）中AD3交拋物線(xiàn)于P點(diǎn)，

過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥AC于Q點(diǎn)，由（2）可知∠BAC=∠PAC，

∠ACB=∠AQP， ∴△APQ∽△ABC，

設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=mx+n，由，解得，

∴直線(xiàn)AP的解析式為，

由，解得， 或（舍去），

∴P；

當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí)，

過(guò)A點(diǎn)作AP′⊥AD3，交拋物線(xiàn)于P′點(diǎn)，

過(guò)P′點(diǎn)作P′Q′⊥AC于Q′點(diǎn)，由（2）可知∠BAC=∠AP′Q′，

∠ACB=∠AQ′P′， ∴△P′AQ′∽△ABC，

易得直線(xiàn)AP′的解析式為，

同（3）過(guò)程可求P′，

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有P和P′

此題解法不唯一，請(qǐng)酌情評(píng)分．