Question

【題目】已知，拋物線C1：

(1) ① 無論m取何值，拋物線經(jīng)過定點P

② 隨著m的取值的變化，頂點M(x，y)隨之變化，y是x的函數(shù)，則點M滿足的函數(shù)C2的關(guān)系式為__________________

(2) 如圖1，拋物線C1與x軸僅有一個公共點，請在圖1畫出頂點M滿足的函數(shù)C2的大致圖象，平行于y軸的直線l分別交C1、C2于點A、B．若△PAB為等腰直角三角形，判斷直線l滿足的條件，并說明理由

(3) 如圖2，二次函數(shù)的圖象C1的頂點M在第二象限、交x軸于另一點C，拋物線上點M與點P之間一點D的橫坐標為－2，連接PD、CD、CM、DM．若S△PCD＝S△MCD，求二次函數(shù)的解析式

Answer 1

【答案】（1）①（－1，0 ）②；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）①直接得出點的坐標；②用配方法確定出拋物線的頂點式方程，即可得出結(jié)論
（2）先確定出拋物線的解析式，得出此兩個函數(shù)圖形關(guān)于軸對稱，從而設(shè)出點的坐標，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）方法一：先確定出點坐標，根據(jù)條件確定出四邊形的面積是面積的2倍，列出方程即可確定出．最后代入解析式即可；
方法二：先確定出直線解析式，再用到坐標系下的三角形面積公式（水平寬乘以鉛垂高的一半建立方程的）分別表示出和，從而建立方程求解，再代入解析式即可．

試題解析：(1)①∵拋物線

∴當x+1=0時，無論m為何值，拋物線經(jīng)過頂點P，

∴x=1，y=0，

∴定點P(1,0)，

故答案為：1，0；

②拋物線

∴

∴函數(shù)的關(guān)系式為

故答案為：

(2)如圖1所示，

∵拋物線頂點在x軸，則m=1，

∴拋物線 P(1,0)，

由②知,函數(shù)的關(guān)系式為

∴拋物線與關(guān)于x軸對稱，

∵△PAB為等腰直角三角形，

∴直角頂點只能是點P，且PC=BC=AC，

設(shè)

∴ ∴PC=|n+1|，

∴ ∴n=1(舍)或n=1或n=3.

∴直線l的解析式為x=1或x=3.

(3)方法一：如圖2，過點M作ME⊥OC，過點D作DF⊥OC，

∵拋物線

∴P(1,0),C(2m+1,0)，

∵拋物線上點M與點P之間一點D的橫坐標為2，

∴

∴

∵

S四邊形CPDM=S△DFP+S梯形DFEM+S△CEM

∴PF×DF+EF×DF+ME×EF+CE×ME=2PC×DF，

∴DF(PF+EF)+ME(EF+CE)=2PC×DF，

∴DF×PE+ME×CF=2PC×DF，

∴DF×12PC+ME(PCPF)=2PC×DF，

∴DF×PC+2ME×PC2ME×PF=4PC×DF，

∴2ME×PC3PC×DF=2ME×PF，

∴PC(2ME3DF)=2ME×PF，

∴(m+1)(m+4)(2m+3)=0，

∴m=1(舍)或m=4或

當m=4時,二次函數(shù)的解析式

當時,二次函數(shù)的解析式

方法二，如圖，過點M作ME⊥x軸交CD于E，過點D作DF⊥x軸，

∵拋物線

∴P(1,0),C(2m+1,0)，

∵拋物線上點M與點P之間一點D的橫坐標為2，

∴

∴直線CD解析式為

∴

∵

∴(m+1)(m+4)(2m+3)=0，

∴m=1(舍)或m=4或

當m=4時,二次函數(shù)的解析式

當時,二次函數(shù)的解析式