Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．

（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．

【解析】

（1）經(jīng)過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．
（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts △BPD與△CQP全等，則可知PB=3t cm，PC=（8-3t）cm，CQ=xt cm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可．

解：（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm， CQ＝3cm，

∵△ABC中，AB＝AC，

∴在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3t cm，PC＝（8-3t）cm，CQ＝xt cm，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：

①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時(shí)，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，兩三角形全等；

①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時(shí)，

8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，

∵x≠3，

∴舍去此情況；

②BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，

5＝xt且3t＝8﹣3t，

解得：x＝；

故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．