Question

如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G，求證：CE＝(AB＋CD)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過C作CF∥BD交AB的延長(zhǎng)線于F，則四邊形DBFC是平行四邊形． 　　∴BF＝CD，BD＝CF 　　∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CF 　　∵CE⊥AF，∴AE＝EF 　　∵AC⊥BD，BD∥CF，∴AC⊥CF 　　∴CE是Rt△ACF的斜邊AF上的中線． 　　∴CE＝AF＝(AB＋BF)＝(AB＋CD) 　　說明：此題也可以采用下面證法，(1)因?yàn)樘菪蜛BCD是等腰梯形，且AC⊥BD，則△ABG是等腰直角三角形，則有∠CAB＝，推出△ACE是等腰直角三角形，CE＝AE，作梯形的另一條高DH，則DH＝BH，從而2CE＝CE＋DH＝AE＋BH＝AB＋HE＝AB＋CD，所以CE＝(AB＋CD)． 　　(2)由上述可知：△ABG、△CDG、△ACE均為等腰直角三角形，則有AC＝CE，AB＝AG，CD＝CG， 　　則AB＋CD＝AG＋CG＝(AG＋CG)＝AC＝·CE＝2CE．從而證出CE＝(AB＋CD)．