Question

（2012•廣州模擬）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求NC，MC的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，射線QN恰好將△ABC的面積平分？并判斷此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)是否也被射線QN平分．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB與BC的長(zhǎng)根據(jù)勾股定理可求CA=5，從而得到cos∠NCM=

BC

AC

=

4

5

，而cos∠NCM也等于

NC

MC

，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
（2）四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到PC=DQ，列出方程4-t=t即解；
（3）根據(jù)QN平分△ABC的面積，得到三角形CMN的面積等于三角形ABC面積的一半，根據(jù)三角形的面積公式，利用表示出的CN與MN的值表示出三角形CMN的面積，讓其等于三角形ABC面積的一半，得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC與NC中，求出兩線段的和，再根據(jù)AB、AC與BC的值求出三角形ABC的周長(zhǎng)的一半，看與MC和NC兩線段的和是否相等，從而判斷出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)是否也被射線QN平分．

解答：解：（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²=3²+4²，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=

NC

MC

=

BC

AC

=

4

5

，CN=1+t，
∴CM=

CN

cos∠NCM

=

1+t

4 5

=

5+5t

4

；

（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2，
則當(dāng)t=2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；

（3）∵NC=t+1，MN=

3(t+1)

4

，
∴S_△MNC=

1

2

NC•MN=

1

2

(t+1)•

3(t+1)

4

=

3(t+1)2

8

=

1

2

×

1

2

×4×3，…（8分）
整理得：（1+t）²=8，
解得：t₁=2

2

-1，t₂=-2

2

-1（舍）…（9分）
∴當(dāng)t=2

2

-1時(shí)，△ABC的面積被射線QN平分．…（10分）
當(dāng)t=-2

2

-1時(shí)，MC+NC=

5(t+1)

4

+1+t=

9 2

2

≠

1

2

（3+4+5），
∴此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)不被射線QN平分．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，是一道探究型的題，解答此類題時(shí)，可采用逆向思維的方法，視結(jié)論為題設(shè)，多角度，多側(cè)面去探尋滿足題意的值，要求學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)融匯貫穿，靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題．