Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），點(diǎn)F是CD上一動(dòng)點(diǎn)，且AE+CF=4，則△DEF面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，即可求得AD=CD=4，∠FDG=60°，然后設(shè)AE=x，即可得S_△DEF=DE•FG）=-（x-2）²+，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．
解答：解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
∵菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，
∴AD=CD=4，∠ADB=180°-∠BAD=120°，
∴∠FDG=180°-∠ADB=60°，
設(shè)AE=x，
∵AE+CF=4，
∴CF=4-x；
∴DE=AD-AE=4-x，DF=CD-CF=4-（4-x）=x，
在Rt△DFG中，F(xiàn)G=DF•sin∠GDF=x，
∴S_△DEF=DE•FG=×（4-x）×x=-x²+x=-（x²-4x）=-（x-2）²+，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△DEF面積的最大，最大值為．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．