Question

如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)C、D(0，－2)作平行于x軸的直線、．

    (1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式；

    (2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；

    (3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）證明見解析(3) 4(1+k²)，證明見解析

【解析】解：（1）設(shè)拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式為y=ax²＋bx＋c，

則  解得。

∴拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式 所以。

          （2）設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上，

               ∴，∴x₂²=4(y₂+1)。

又∵，∴。

又∵y₂≥－l，∴ON=2＋y₂。

設(shè)ON的中點(diǎn)E，分別過點(diǎn)N、E向直線作垂線，垂足為P、F， 則 ，

∴ON=2EF，

即ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長度的一半，

∴以O(shè)N為直徑的圓與相切。

（3）過點(diǎn)M作MH⊥NP交NP于點(diǎn)H，則，

又∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（y₂－y₁)2=k²(x₂－x₁)²�！郙N²=(1+k²)(x₂一x_l)²。

又∵點(diǎn)M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，

∴，即x²－4kx－4=0，∴x₂＋x₁=4k，x₂·x₁=－4。

∴MN²=(1+k²)(x₂一x_l)²=(1+k²)[ (x₂＋x_l)²－4x₂·x_l] =16(1+k²)²�！郙N=4(1+k²)。

延長NP交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MS⊥交于點(diǎn)S，

則MS＋NQ=y₁＋2＋y₂＋2=

    ∴MS+NQ=MN，即M、N兩點(diǎn)到距離之和等于線段MN的長。

（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式。

（2）要證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切，只要證ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長的一半即可。

（3）運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出MN和M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和，相比較即可。