Question

在科技館里，小亮看見一臺(tái)名為帕斯卡三角的儀器，如圖所示，當(dāng)一實(shí)心小球從入口落下，它在依次碰到每層菱形擋塊時(shí)，會(huì)等可能地向左或向右落下．

（1）試問小球通過第二層位置的概率是多少？
（2）請(qǐng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法模擬試驗(yàn)，并具體說明小球下落到第三層位置和第四層
位置處的概率各是多少？

Answer 1

（1）（2），

方法1：①實(shí)心小球在碰到菱形擋塊時(shí)向左或向右下落是等可能性的經(jīng)過一個(gè)菱形擋塊后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．    1分
畫樹狀圖可知，落到點(diǎn)位置的概率為．··············· 4分
②同理可畫樹狀圖得，落到點(diǎn)位置的概率為．············ 8分
③同理可畫樹狀圖得，落到點(diǎn)位置的概率為．··········· 12分
（注：①中畫圖1分，算出概率2分．②、③中畫圖2分，算出概率2分．）

方法2：（1）實(shí)心小球碰到每個(gè)菱形擋塊時(shí)向左或向右是等可能性的，因此小球下落到的可能性會(huì)有以下的途徑｛左右，右左｝兩種情況，······························ 1分
而下落到第二層，共｛左左，左右，右左，右右｝四種情況············ 2分
由概率定義得························· 4分
（2）同理，到達(dá)第三層位置會(huì)有以下途徑｛左右右，右左右，右右左｝三種情況
······································ 5分
而下落到第三層共有｛左左左，左左右，左右左，左右右，右左左，右左右，右右左，右右右｝八種情況    6分
由概率定義得··························· 8分
（3）同理，到達(dá)第四層位置會(huì)有｛左左左右，左左右左，左右左左，右左左左｝四種情況   9分
而下落到第四層共有｛左左左左，左左左右，左左右左，左右左左，右左左左，左右左右，左右右左，左左右右，右左左右，右左右左，右右左左，右右右左，右右左右，右左右右，左右右右，右右右右｝共16情況 10分
由概率定義得························ 12分
方法3：本題也可用賈憲三角方法，先算出小球下落路徑條數(shù)，如下圖．由題意知：小球經(jīng)過每條路徑的可能性相同．

由概率定義易得，（其中畫圖2分，算出概率2分）···· 4分
，（其中畫圖2分，算出概率2分）············ 8分
．（其中畫圖2分，算出概率2分）······· 12分
（注：其它方案正確，可參照上述方案評(píng)分！）
把每一層的菱形看做一步，經(jīng)過幾層就看做幾步畫樹狀圖，概率為在此點(diǎn)可能的概率相加．得到每一個(gè)菱形處向左或向右的概率均為 ，經(jīng)過某點(diǎn)的概率為該點(diǎn)處的兩個(gè)概率相加是解決本題的關(guān)鍵．