Question

（2012•孝感模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)A．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)P（x，y）是在第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．
①試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由；
②當(dāng)x=

1或3

時(shí)，P、C、O、N四點(diǎn)能圍成平行四邊形．
（3）連接PC，在（2）的條件下，解答下列問題：
①請用含x的式子表示線段BN的長度：BN=

5-

5

4

x

；
②若PC⊥BC，試求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)發(fā)求解二次函數(shù)解析式即可；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)直線BC解析式設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)PN=PM-NM，可得出PN的表達(dá)式，利用配方法可求出最大值．
②根據(jù)PN∥OC，可得出要使PCON圍成平行四邊形，則PN=CO，結(jié)合①PN的表達(dá)式可建立方程，解出即可得出答案．
（3）①根據(jù)△BNM∽△BCO，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出BN的關(guān)于x的表達(dá)式；
②先判斷出△PCN∽△BOC，然后利用利用對應(yīng)邊成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于直線y=-

3

4

x+3經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵點(diǎn)B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得

-16+4b+c=0 c=3

，
解得：b=

13

4

，c=3，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+

13

4

x+3．

（2）①∵點(diǎn)P（x，y）在拋物線y=-x2+

13

4

x+3上，且PN⊥x軸，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+

13

4

x+3）同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x+3），
又∵點(diǎn)P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（-x2+

13

4

x+3）-（-

3

4

x+3）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，
線段PN的長度的最大值為4．
②因?yàn)镻N∥CO，要使PCON圍成平行四邊形，則PN=CO，
由①得：PN=-x²+4x，故可得：-x²+4x=3，
解得：x=1或3．

（3）①∵△BNM∽△BCO，
∴

MN

OC

=

BN

BC

，即

- 3 4 x+3

3

=

BN

5

，
解得：BN=5-

5

4

x．
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴

PN

BC

=

CN

OC

，即

-x2+4x

5

=

5 4 x

3

，
解得：x=

23

12

或x=0（舍去），
故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

23

12

，0）．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題需要我們熟練各個(gè)知識點(diǎn)的內(nèi)容，認(rèn)真探究題目，謹(jǐn)慎作答．