Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O的半徑AO上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC=2.5．
（1）當(dāng)CE正好是⊙O的半徑時(shí)，PT=2，求⊙O的半徑；
（2）設(shè)PT²=y，AC=x，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）△PTC能不能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出△PTC的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1所示：當(dāng)CE正好是⊙O的半徑時(shí)，點(diǎn)C與圓心O重合．連接OT．由切線的性質(zhì)推知△PCT為直角三角形，所以在Rt△PCT中利用勾股定理即可求得⊙O的半徑OT的長(zhǎng)度；
（2）連接OP、OT，由在Rt△POT和Rt△PCO中利用勾股定理得PT²+OT²=PC²+OC²，化簡(jiǎn)得y=x²-3x+6.25（0≤x≤1.5）；
（3）△PTC不可能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形．當(dāng)PT⊥CT時(shí)，由于PT切⊙O于T，所以CT過(guò)圓心，即CT就是⊙O的半徑，如圖1所示．由（1）知，CT=1.5，PT=2，即PT≠CT，故△PTC不可能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形．

解答：解：（1）如圖1所示：當(dāng)CE正好是⊙O的半徑時(shí)，點(diǎn)C與圓心O重合．連接OT．
∵PT切⊙O于T，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°．
在Rt△PCT中，PC=2.5，PT=2，
根據(jù)勾股定理知，OT=

PC2-PT2

=1.5，即⊙O的半徑為1.5；

（2）如圖2所示：連接OP、OT．
在Rt△POT中，PT²=y，OT=1.5，則根據(jù)勾股定理知，PO²=PT²+OT²=y+2.25．
在Rt△PCO中，PC=2.5，OC=OA-x=1.5-x，則根據(jù)勾股定理知，PO²=PC²+OC²=6.25+（OT-x）²．
∴y+1.5²=6.25+（1.5-x）²，即y=x²-3x+6.25（0≤x≤1.5）；

（3））△PTC不可能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形．理由如下：
當(dāng)△PTC變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，PT⊥CT，
∵PT切⊙O于T，
∴CT過(guò)圓心，
∴CT就是⊙O的半徑，即點(diǎn)C與圓心O重合（如圖1所示）．
由（1）知，CT=1.5，PT=2，即PT≠CT，故△PTC不可能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．