Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．四邊形OABC是平行四邊形．直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)O、C兩點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，4），動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿A→B→C的方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線(xiàn)O一C-B相交于點(diǎn)M．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．△MPQ的面積為S．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

，直線(xiàn)l的解析式為

 

．
（2）試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍．
（3）試求題（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)N．試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)便可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)即可求得直線(xiàn)l的解析式；
（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t，根據(jù)t的取值范圍不同分三種情況分別進(jìn)行討論，得到三種S關(guān)于t的函數(shù)，解題時(shí)注意t的取值范圍；
（3）分別根據(jù)三種函數(shù)解析式求出當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，然后比較三個(gè)最大值，可知當(dāng)t=

8

3

時(shí)，S有最大值，最大值為

128

9

；
（4）根據(jù)題意并細(xì)心觀察圖象，分兩種情況討論可知：當(dāng)t=

60

13

時(shí)，△QMN為等腰三角形．

解答：解：（1）由題意知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11.4），
且OA=BC，故C點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，4），
設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx，
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx，
解得k=

4

3

，
∴直線(xiàn)l的解析式為y=

4

3

x；
故答案為：（3，4），y=

4

3

x；


（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分三種情況討論：
①當(dāng)0＜t≤

5

2

時(shí)，如圖1，M點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，

4

3

t）．
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，可得△AEQ∽△ODC，
∴

AQ

OC

=

AE

OD

=

QE

CD

，
∴

2t

5

=

AE

3

=

QE

4

，
∴AE=

6t

5

，EQ=

8

5

t，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（8+

6

5

t，

8

5

t），
∴PE=8+

6

5

t-t=8+

1

5

t，
∴S=

1

2

•MP•PE=

1

2

•

4

3

t•(8+

1

5

t)=

2

15

t2+

16

3

t，

②當(dāng)

5

2

＜t≤3時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t，
∴S=

1

2

•MP•PF=

1

2

•

4

3

t•(16-3t)=-2t2+

32

3

t，

③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇時(shí)，16-2t=t，解得t=

16

3

．
當(dāng)3＜t＜

16

3

時(shí)，如圖3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
S=

1

2

•MP•MQ=

1

2

•4•（16-3t）=-6t+32，
所以S=

2 15 t2+ 16 3 t(0＜t≤ 5 2 ) -2t2+ 32 3 t( 5 2 ＜t≤3) -6t+32(3＜t＜ 16 3 )

；

（3）①當(dāng)0＜t≤

5

2

時(shí)，S=

2

15

t2+

16

3

t=

2

15

(t+20)2-

160

3

，
∵a=

2

15

＞0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，t=

5

2

時(shí)，最大值為

85

6

；
②當(dāng)

5

2

＜t≤3時(shí)，S=-2t²+

32

3

t=-2(t-

8

3

)2+

128

9

．
∵a=-2＜0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下．
∴當(dāng)t=

8

3

時(shí)，S有最大值，最大值為

128

9

．
③當(dāng)3＜t＜

16

3

時(shí)，S=-6t+32，
∵k=-6＜0．
∴S隨t的增大而減�。�
又∵當(dāng)t=3時(shí)，S=14．當(dāng)t=

16

3

時(shí)，S=0．
∴0＜S＜14．
綜上所述，當(dāng)t=

8

3

時(shí)，S有最大值，最大值為

128

9

．

（4）當(dāng)M點(diǎn)在線(xiàn)段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q一定在線(xiàn)段CB上，
①點(diǎn)Q在點(diǎn)M右側(cè)，QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t，NM=NP-MP=

4

3

t-4
則有16-3t=

4

3

t-4 解得t=

60

13

；
②點(diǎn)Q在點(diǎn)M左側(cè)，QM=xM-xQ=3t-16，NM=NP-MP=

4

3

t-4
則有3t-16=

4

3

t-4 解得t=

36

5

但是，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（5+8）÷2=6.5秒，故將②舍去．
當(dāng)t=

60

13

時(shí)，△QMN為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)最大值的求法和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于難題．