Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD＝3cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，均以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BC，分別交AD，AB于點(diǎn)E，F，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求DQ的長（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）以點(diǎn)Q，D，F，E為頂點(diǎn)圍成的圖形面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）連接PQ，若點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0≤t≤3時(shí)，DQ＝3﹣t；當(dāng)3＜t≤5時(shí)，DQ＝t﹣3．

（2）；

（3）3.

【解析】

（1）由于CD=3cm，運(yùn)動(dòng)速度為1m/s，故進(jìn)行分類討論，分別為當(dāng)0≤t≤3時(shí)，當(dāng)3＜t≤5時(shí)，分別計(jì)算出DQ的長度即可.

（2）根據(jù)梯形面積公式和三角形面積公式，分類進(jìn)行討論，分別當(dāng)0≤t≤3時(shí)和當(dāng)3＜t≤4時(shí)，四點(diǎn)圍成的是一個(gè)梯形，當(dāng)4＜t≤5時(shí)，E、F點(diǎn)重合，此時(shí)圍成的是一個(gè)三角形.分別計(jì)算，用含t的式子將S表示出來即可.

（3）根據(jù)題意，CB＞CA，故M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡分為兩段，一段為P點(diǎn)運(yùn)行到A點(diǎn)，Q點(diǎn)運(yùn)行到與CA的長相等的地方可設(shè)為J點(diǎn)，此時(shí)M運(yùn)行的路經(jīng)長為等腰直角△JCA的底邊的垂線CR，第二段,過R點(diǎn)作BC的平行線，與AB交于點(diǎn)T,此時(shí)P點(diǎn)已經(jīng)停止在了A點(diǎn)，Q點(diǎn)繼續(xù)由J點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)M點(diǎn)的運(yùn)行軌跡即為RT的長，分別計(jì)算出兩段的長，相加即可.

解：（1）當(dāng)0≤t≤3時(shí)，DQ＝CD-CQ

∵CD=3,CQ=t,

∴DQ =3﹣t；

當(dāng)3＜t≤5時(shí)，DQ＝CQ-CD

∵CQ =t，CD =3，

∴DQ =t﹣3．

（2）①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，如圖，

∵PC＝t，AC＝4，

∴，

，

，

∴．

②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖，

∴．

③當(dāng)4＜t≤5時(shí)，如圖，

∴．

綜上所述

（3）點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為2，

如圖，在CB上取一點(diǎn)J，使得CJ＝CA，連接AJ，作CR⊥AJ于R，RT∥BC交AB于T．

由題意點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是C→R→T，

∵CA＝CJ＝4，CR⊥AJ，∠ACJ＝90°，

∴AJ＝4，AR＝RJ，

∴CR＝AJ＝2，

∵RT∥BJ，AR＝RJ，

∴AT＝TB，

∴RT＝BJ＝，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的長為2．