【題目】已知,□ABCD中∠ABC=90°,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.

(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為平行四邊形.

(2)如圖1,求AF的長.

(3)如圖2,動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),沿AFBCDE各邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)PA→F→B→A停止,點(diǎn)QC→D→E→C停止.在運(yùn)動過程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,若當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求t的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)AF=5;(3)以A,C,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,t=秒.

【解析】分析:(1)①先證明四邊形ABCD為平行四邊形,再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;

②根據(jù)勾股定理即可求AF的長;

2)分情況討論可知,P點(diǎn)在BF上,Q點(diǎn)在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可;

詳解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠CAD=ACB,∠AEF=CFE

EF垂直平分AC,

OA=OC

在△AOE和△COF中,

,

∴△AOE≌△COFAAS),

OE=OFAAS).

EFAC

∴四邊形AFCE為菱形.即四邊形AFCE為平行四邊形.

②設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=8-xcm,

RtABF中,AB=4cm,由勾股定理,得

16+8-x2=x2,

解得:x=5

AF=5

2)由作圖可以知道,P點(diǎn)AF上時,Q點(diǎn)CD上,此時A,CP,Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理P點(diǎn)AB上時,Q點(diǎn)DECE上,也不能構(gòu)成平行四邊形.

∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上,Q點(diǎn)在ED上時,才能構(gòu)成平行四邊形,

∴以A,CP,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,

PC=QA,

∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時間為t秒,

PC=tQA=12-0.8t,

t=12-0.8t

解得:t=

∴以A,CP,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,t=秒.

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新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.

新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了

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(4)延伸:在圖4的基礎(chǔ)上,于容器底部正中間位置,嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板(厚度忽略不計),得到圖5,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn),當(dāng)α=60°時,通過計算,判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4dm3

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