Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

若點(diǎn)在第二象限內(nèi)的拋物線上，求面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在點(diǎn)，使，，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)，8；（3）足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知PA=PB，則當(dāng)P、B、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分AB為邊和AB為對(duì)稱線兩種情況，當(dāng)AB為邊時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得到CQ=AB，可得到關(guān)于D點(diǎn)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，則AB的中點(diǎn)也為CQ的中點(diǎn)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解：∵二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

∴，

∴，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，

如圖，

由有，二次函數(shù)的表達(dá)式為，

令，得，或，

∴

連接，，，

∴點(diǎn)是直線平移之后和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，最大，

∵，，

∴直線解析式為，

設(shè)直線平移后的直線解析式為，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作軸

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴．

存在點(diǎn)，使，，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，

理由：①以為邊時(shí)，，

過(guò)點(diǎn)作平行于的直線，

∵，

∴直線解析式為，

∴點(diǎn)在直線上，

設(shè)，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴或，

②以為對(duì)角線時(shí)，必過(guò)線段中點(diǎn)，且被平分，即：的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)，

∵，，

∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，

∴直線解析式為，

設(shè)點(diǎn)，

∴，

∴（舍）或，

∴，

即：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．