Question

如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PD⊥OB于點D．
（1）填空：PD的長為

3

2

t

用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點C的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由三角形AOB是等邊三角形可以得出OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°，由PD⊥OB就可以得出∠PDO=90°，再通過解直角三角形就可以用t把PD表示出來．
（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，可得△PCE∽△BPD，利用三角形相似的性質(zhì)就可以CE和PE的值，從而可以表示出C的坐標．
（3）在P的移動過程中使△PCA為直角三角形分兩種情況，當∠PCA=90°或∠PAC=90°時就可以求出相對應的t值
（4）射出C點的坐標，表示出坐標的函數(shù)關系式確定C的運動軌跡的圖象為線段，再根據(jù)條件就可以求出起點的坐標和終點的坐標，運用兩點間的距離公式就可以求出其值．

解答：解：（1）∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，
∴∠PDO=90°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=

1

2

OP．
∵OP=t，
∴OD=

1

2

t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得
PD=

3

2

t
故答案為：

3

2

t

（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，
∴∠PEC=90°，
∵OD=

1

2

t，
∴BD=4-

1

2

t．
∵線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，
∴∠BPC=60°．
∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．
∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴

CE

PD

=

PC

PB

，

PE

BD

=

PC

PB

∴

CE

3 2 t

=

1

2

，

PE

4- 1 2 t

=

1

2

，
∴CE=

3

4

t，PE=2-

1

4

t，OE=2+

3

4

t，
∴C（2+

3

4

t，

3

4

t）．

（3）如圖（3）當∠PCA=90度時，作CF⊥PA，
∴△PCF∽△ACF，
∴

PF

CF

=

CF

AF

，
∴CF²=PF•AF，
∵PF=2-

1

4

t，AF=4-OF=2-

3

4

t CF=

3

4

t，
∴（

3

4

t）²=（2-

1

4

t）（2-

3

4

t），
求得t=2，這時P是OA的中點．
如圖（2）當∠CAP=90°時，C的橫坐標就是4，
∴2+

3

4

t=4
∴t=

8

3

（4）設C（x，y），
∴x=2+

3

4

t，y=

3

4

t，
∴y=

3

3

x-

8 3

3

，
∴C點的運動痕跡是一條線段（0≤t≤4）．
當t=0時，C₁（2，0），
當t=4時，C₂（5，

3

），
∴由兩點間的距離公式得：C₁C₂=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，兩點間的距離公式的運用．