Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，點P在右半圓上移動（點P與點A，B不重合），過點P作PC⊥AB，垂足為C；點Q在射線BM上移動（點M在點B的右邊），且在移動過程中保持OQ∥AP．
（1）若PC，QO的延長線相交于點E，判斷是否存在點P，使得點E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大�。蝗舨淮嬖�，請說明理由；
（2）連接AQ交PC于點F，設(shè)，試問：k的值是否隨點P的移動而變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）若存在點E在⊙O上時，由已知，根據(jù)垂徑定理知EC=CP，∠ECO=∠ACP=90°，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等知，∠E=∠P，由SAS知，△EOC≌△PAC，OC=CA，OE=AP則在Rt△APC中，由正弦的概念知，由特殊角的三角函數(shù)值知∠APC=30°；
（2）由于P是⊙O右半圓上的任意一點，且AP∥OQ，由兩直線平行，同位角相等知，∠PAC=∠QOB由BM是⊙O的切線，由切線的性質(zhì)知，∠ABQ=90°，已知中有PC⊥AB，即∠ACP=∠ABQ=90°，∴△ACP∽△OBQ得到，，又有∠CAF=∠BAQ，∠ACF=∠ABQ=90°，故由△ACF∽△ABQ可知，又因為AB=2OB，則即得到PC=2CF，即PF=CF，所以有=，即k值不隨點P的移動而變化．
解答：解：（1）解法一：當(dāng)點E在⊙O上時，設(shè)OQ與⊙O交于點D，
∵AB⊥PC，
∴=．
∵AP∥OQ，
∴∠APE=∠PEQ．
∴=．
又∠AOE=∠BOD，=，
，
∴．

解法二：設(shè)點E在⊙O上時，由已知有EC=CP，
∴△EOC≌△PAC．
∴OC=CA，OE=AP．
在Rt△APC中，，
∴∠APC=30°．

（2）k值不隨點P的移動而變化．理由是：
∵P是⊙O右半圓上的任意一點，且AP∥OQ，
∴∠PAC=∠QOB．
∵BM是⊙O的切線，
∴∠ABQ=90°．
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=90°．
∴∠ACP=∠ABQ．
∴△ACP∽△OBQ．
∴．
又∵∠CAF=∠BAQ，∠ACF=∠ABQ=90°，
∴△ACF∽△ABQ．
∴．
又∵AB=2OB，
∴即．
∴PC=2CF即PF=CF．
∴=．
即k值不隨點P的移動而變化．
點評：本題利用了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，正弦的概念，特殊角的三角函數(shù)值求解．