Question

探究題：
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于點E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于點F，DF的延長線交AC于點G，試問：
（1）DF與BC有何位置關(guān)系？請說明理由．
（2）FG與FE有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）DF∥BC，
理由是：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠DAF，
在△CAF和△DAF中
，
∴△CAF≌△DAF，
∴∠ADF=∠ACF，
∵CE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，
∴∠B=∠ACF=∠ADF，
∴DF∥BC．

（2）FG=EF，
證明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠AGF=∠ACB=90°，
∴FG⊥AC，
∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，
∴FG=EF．
分析：（1）根據(jù)角平分線定義推出∠CAF=∠DAF，根據(jù)SAS證△CAF≌△DAF，推出∠ADF=∠ACF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACF=∠ADF，根據(jù)平行線判定推出即可；
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠AGF=90°，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出即可．
點評：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義和性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目較好，難度適中．