Question

如圖，已知在平行四邊形ABED中，AE是對角線，∠B=∠EAD，延長BE至點C，使EC=BE，并連接DC．
（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）若AB=AD=4，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABED是平行四邊形，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴∠EAD=∠AEB，
∵∠B=∠EAD，
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，
∵EC=BE，AD=BE，
∴AD=EC，
∵AD∥BE，
∴AD∥EC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD，
∵AE=AB，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形；

（2）∵AB=AD=4，AB=EC．AB=DC，
∴DC=4，=AB，BC=8，
過A作AF⊥BC于F，過D作DG⊥BC于G，
則∠AFB=∠AFE=∠DGC=90°，AF∥DG，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFGD是矩形，
∴AD=GF=4，AF=DG，
∵AB=CD，
∴由勾股定理得：BF=CG=2，
由勾股定理得：AF=

42-22

=2

3

，
∴梯形ABCD的面積是

1

2

×（4+8）×4=24．