Question

【題目】如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上，OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)），

（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求弧AQ的長(zhǎng)（圖1）；

（2）若∠AOB=120°，求AB的長(zhǎng)（圖2）；

（3）如果線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M，當(dāng)AO⊥PM于點(diǎn)N時(shí)，求 的值（圖3）．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）．

【解析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，得到∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；

（2）連接AP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和已知條件求出AM，再根據(jù)BM=OM+OB，求出BM，最后根據(jù)勾股定理求出AB；

（3）連接MQ，根據(jù)PQ是圓O的直徑和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON=AO，設(shè)ON=x，則AO=4x，根據(jù)OA的值求出x的值，再根據(jù)PN=，求出PN，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案.

解：（1）∵直線AB與圓O相切，

∴∠OAB=90°，

∵OQ=QB=1，

∴OA=1，OB=2，

∴OA=OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AQ==；

（2）如圖1，

連接AP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M，

∵∠AOB=120°，∴∠AOP=60°，

∵OM=，∴BM=OM+OB=+2=，

∴AB===；

（3）如圖2，連接MQ，

∵PQ為圓O的直徑，∴∠PMQ=90°，

∵ON⊥PM，∴AO∥MQ，

∵PO=OQ，

∴ON=MQ，

∵OQ=BQ，

∴MQ=AO，

∴ON=AO，

設(shè)ON=x，則AO=4x，

∵OA=1，

∴4x=1，

∴x=，

∴ON=，

∴PN===，

==.