【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD上一點,PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點P、O、Q,連接BP、EQ

(1)求證:四邊形BPEQ是菱形;

(2)若AB=6,F(xiàn)為AB的中點,OF+OB=9,求PQ的長.

【答案】1)證明見解析;(2PQ的長是

【解析】試題分析⑴先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明QB=QE,由ASA證明△BOQ≌△EOP,得出PE=QB,證出四邊形ABGE是平行四邊形,再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論.

⑵根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得 , ,則

,在RtABE中,根據(jù)勾股定理可得 ,解得BE=10,

得到 , ,則 , ,計算得出 ,在RtBOP中,根據(jù)勾股定理可得 即可求解.

試題解析

1)證明:PQ垂直平分BE,

QB=QEOB=OE,

四邊形ABCD是矩形,

ADBC,

∴ ∠ PEO=∠ QBO,

BOQ EOP中,

,

∴ △ BOQ≌ △ EOPASA),

PE=QB,

ADBC,

四邊形BPEQ是平行四邊形,

QB=QE,

四邊形BPEQ是菱形;

2)解:OF分別為PQ,AB的中點,

AE+BE=2OF+2OB=18,

AE=x,則BE=18﹣x,

Rt△ ABE中,62+x2=18﹣x2,

解得x=8,

BE=18﹣x=10

OB=BE=5,

PE=y,則AP=8﹣y,BP=PE=y,

Rt△ ABP中,62+8﹣y2=y2,解得y=,

Rt△ BOP中,PO==,

PQ=2PO=

練習冊系列答案
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2小明把這個猜想與同學們進行交流通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法

想法1如圖2,延長ACF,使CF=CD,連接DF.通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理,就可以得到ACBABC的數(shù)量關(guān)系

想法2AB上取一點E使AE=AC,連接ED,通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識進行推理,就可以得到ACBABC的數(shù)量關(guān)系

請你參考上面的想法,幫助小明證明猜想中ACBABC的數(shù)量關(guān)系一種方法即可).

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