Question

1．直角三角形ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，AC=4，若點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，使∠CDB=2∠A，請(qǐng)根據(jù)題意畫出示意圖，并求出CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，∠BCD=∠A+∠ACD，而∠CDB=2∠A，那么∠CAD=∠A，由等角對(duì)等邊得到AD=CD，再根據(jù)等角的余角相等得出∠B=∠BCD，則DC=DB，CD=$\frac{1}{2}$AB，然后解Rt△ABC，求得BC=2，運(yùn)用勾股定理求出AB=2$\sqrt{5}$，即可求得CD=$\sqrt{5}$．

解答 解：如圖，∵∠BCD=∠A+∠ACD，∠CDB=2∠A，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，AC=4，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，余角的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，正切函數(shù)的定義，難度適中．求出AB的值是解題的關(guān)鍵．