Question

如圖（1），∠ABC=90°，O為射線BC上一點(diǎn)，OB=4，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D、E．
（1）當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切？請(qǐng)說明理由．
（2）若射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn)，如圖（2），求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設(shè)切點(diǎn)為F，連OF．則OF⊥BF，由特殊角的三角函數(shù)值，即可求得∠OBF的度數(shù)，繼而求得當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切；
（2）首先過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，由射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn)，即可得∠ABC=30°，繼而求得OH的長(zhǎng)，然后由特殊角的三角函數(shù)值，求得∠MOH的度數(shù)，繼而求得∠MON的度數(shù)，然后由弧長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)．
解答：解：（1）當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45度°或135°時(shí)與⊙O相切．
理由如下：如圖，設(shè)切點(diǎn)為F，連OF．則OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF=2，OB=4，
∴cos∠OBF==，
∴∠OBF=∠BOF=45°，
∴∠ABF=45°，
同理：當(dāng)∠ABF=135°時(shí)，AB旋轉(zhuǎn)的此時(shí)BF的反向延長(zhǎng)線上，
∴當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45度°或135°時(shí)與⊙O相切．

（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，
∵射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°時(shí)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn)，
∴∠ABC=30°，
∴OH=OB=×4=2，
在Rt△OMH中，OM=2，
∴cos∠MOH==，
∴∠MOH=45°，
∴∠MON=90°，
∴的長(zhǎng)為：=π．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．