如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,正方形OABC的邊長為2cm,點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=
5
6
x2+bx+c經(jīng)過點A、B.
(1)求拋物線的表達式.
(2)如果點P由點A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動,同時點Q由點B開始沿BC以1cm/s的速度向點C移動,當(dāng)其中一點到達終點時,另一點也隨之停止運動.
①移動開始后,是否存在某一時刻t,使得以O(shè)、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似,若存在,請求出此時t的值,若不存在,請說明理由.
②移動開始后第t秒時,設(shè)S=PQ2(cm2),當(dāng)S取得最小值時,在拋物線上是否存在點R,使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點的坐標;如果不存在,請說明理由.
(3)若此拋物線上有一點D(3,
1
2
),在拋物線的對稱軸上求點M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點M的坐標.
分析:(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等寫出點A、B的坐標,然后代入拋物線解析式得到關(guān)于b、c的方程組,解方程組求出b、c的值即可得解;
(2)表示出AP、BP、BQ的長,①然后分(i)OA與BP是對應(yīng)邊,(ii)OA與BQ是對應(yīng)邊兩種情況,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可;
②根據(jù)勾股定理表示出S,然后利用二次函數(shù)的最值問題確定出S取最小值時的t值,然后求出BP、BQ的值,再分(i)BP為對角線,(ii)BQ為對角線兩種情況,根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等求出點R的坐標,然后把點R的坐標代入拋物線,如果點R在拋物線上則,存在,否則不存在;
(3)根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出當(dāng)點M為拋物線對稱軸與直線AD的交點時,M到D、A的距離之差最大,然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AD的解析式,再求兩直線的交點即可.
解答:解:(1)∵正方形OABC的邊長為2cm,
∴點A(0,-2),B(2,-2),
c=-2
5
6
×4+2b+c=-2
,
解得
b=-
5
3
c=-2
,
∴拋物線的表達式為y=
5
6
x2-
5
3
x-2;

(2)移動t秒時,AP=2t,BP=2-2t,BQ=t,
①(i)OA與BP是對應(yīng)邊時,∵以O(shè)、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似,
OA
BP
=
AP
BQ

2
2-2t
=
2t
t
,
解得t=
1
2

(ii)OA與BQ是對應(yīng)邊時,∵以O(shè)、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似,
OA
BQ
=
AP
BP
,
2
t
=
2t
2-2t
,
解得t=-1+
3
,t=-1-
3
(舍去),
綜上所述,當(dāng)t=
1
2
或-1+
3
時,以O(shè)、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似;
②根據(jù)勾股定理,S=PQ2=BP2+BQ2=(2-2t)2+t2=5t2-8t+4,
所以,當(dāng)t=-
-8
2×5
=
4
5
時,S有最小值,
此時BP=2-2t=2-2×
4
5
=
2
5
,BQ=t=
4
5
,
(i)當(dāng)BP為對角線時,根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等,
點R的橫坐標為2t=
8
5
,
縱坐標為-(2+
4
5
)=-
14
5

此時,
5
6
×(
8
5
2-
5
3
×
8
5
-2=
32
15
-
40
15
-2=-
38
15
≠-
14
5
,
點R不在拋物線上,所以,此時不成立,
(ii)BQ為對角線時,根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等,
點R的橫坐標為2+
2
5
=
12
5

縱坐標為-(2-
4
5
)=-
6
5
,
此時,
5
6
×(
12
5
2-
5
3
×
12
5
-2=
24
5
-4-2=-
6
5
,
點R在拋物線上,
所以,點R的坐標為(
12
5
,-
6
5
);

(3)根據(jù)三角形三邊關(guān)系,|MA-MD|<DA,
所以,當(dāng)點M為直線AD與對稱軸交點時,M到D、A的距離之差最大,
此時,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,
b=-2
3k+b=
1
2
,
解得
k=
5
6
b=-2
,
所以,直線AD的解析式為y=
5
6
x-2,
∵拋物線y=
5
6
x2-
5
3
x-2的對稱軸為x=-
-
5
3
5
6
=1,
∴y=
5
6
×1-2=-
7
6

∴點M的坐標為(1,-
7
6
).
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要涉及正方形的性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)解析式(二次函數(shù)解析式與直線解析式),相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,分情況討論的思想,綜合性較強,難度較大,但只要仔細分析認真求解,也不難解答.
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9x
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(1)在圖中標出點M,N的位置,并分別寫出點M,N的坐標:
 

(2)請你依次連接M、N和第三次跳后的點,組成一個封閉的圖形,并計算這個圖形的面積;
(3)猜想一下,經(jīng)過第2009次跳動之后,棋子將落到什么位置.

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(3)在(2)的條件下,當(dāng)s取得最大值時,過點P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點P的對應(yīng)點為P',請直接寫出P'點坐標,并判斷點P'是否在該拋物線上.

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