Question

（2013•宜昌）半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點F，DC在l上．
（1）過點B作的一條切線BE，E為切點．
①填空：如圖1，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數(shù)是

30°

；
②如圖2，當E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；
（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC與OF重合時結(jié)束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可；
②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出

OA

OE

=

OE

OB

，進而求出OA即可；
（2）設∠MON=n°，得出S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n進而利用函數(shù)增減性分析①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，②當MN=DC=2時，MN最小，分別求出即可．

解答：解：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當點A在⊙O上時，過點B作的一條切線BE，E為切點，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度數(shù)是：30°；

②如圖2，
∵直線l與⊙O相切于點F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四邊形OFDA為平行四邊形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四邊形OFDA為矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三點在同一條直線上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠OAE，
∴△EOA∽△BOE，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，
∴OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA=

OA

OE

=

OA

2

，
在Rt△EOB中，cos∠EOB=

OE

OB

=

2

OA+2

，
∴

OA

2

=

2

OA+2

，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，
∴OA=

5

-1；

（2）如圖3，設∠MON=n°，S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n（cm²），
S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時，S_扇形MON最大，
當∠MON取最小值時，S_扇形MON最小，
過O點作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK=

NK

ON

=

NK

2

，
∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，
∴當MN最大時∠MON最大，當MN最小時∠MON最小，
①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S_{扇形MON最大}=π（cm²），
②當MN=DC=2時，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S_{扇形MON最小}=

2

3

π（cm²），
∴

2

3

π≤S_扇形MON≤π．
故答案為：30°．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識，得出扇形MON的面積的最大值與最小值是解題關鍵．