Question

【題目】已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結(jié)論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=（AD2+AB2），其中結(jié)論正確的個數(shù)是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=CE；

②由三角形ABD與三角形ACE全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°；

④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．

解：如圖：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①正確；

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

則BD⊥CE，故②正確；

③∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正確；

④∵BD⊥CE，

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：

BE2=BD2+DE2，

∵△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AD，

即DE2=2AD2，

∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，

∴BE2≠AD2+AB2，故④錯誤，

綜上，正確的個數(shù)為3個．

故選：C．