Question

【題目】在中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且分別平分∠DAB，∠ABC．

（1）請(qǐng)求出∠AOB的度數(shù)，寫出AD、AB、BC之間的等量關(guān)系，并給予證明．

（2）設(shè)點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，PB=5，若AD+BC=16，四邊形ABCD的面積為，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；證明見(jiàn)解析；（2）的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由AC、BD分別平分∠DAB、∠ABC可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠AOB的度數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可證明，可得AB=BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；

（2）根據(jù)AD+BC=16可得=8，當(dāng)∠ABC＞90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)四邊形ABCD的面積可得DE的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可證明△DAB是等邊三角形，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)PB=5，利用勾股定理可得OP的長(zhǎng)，即可求出AP的長(zhǎng)；當(dāng)∠ABC＜90°時(shí)，可得OB＞5，不符合題意，綜上即可得答案．

（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴，

∴，

∵AC、BD分別平分∠DAB、∠ABC，

∴，

∴，

之間的等量關(guān)系為，

∵，

∴，

∵AC平分，

，

四邊形為平行四邊形，

（2）∵，

∴，

①如圖，當(dāng)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)作，

∵四邊形的面積為，

，

，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，，

為等邊三角形，

∵∠AOB=90°，

，

∵，

或．

②如圖，當(dāng)時(shí)，

，AE=4，

∴BE=12，

∴BD==，

∴，

所以這樣的點(diǎn)不存在，故排除．

綜上所述：的長(zhǎng)為．