Question

如圖①，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與原點(diǎn)重合，對(duì)角線BD所在直線與y軸的夾角為60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿矩形ABCD的邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求出矩形ABCD的邊長(zhǎng)BC；
（2）如圖②，圖形運(yùn)動(dòng)到第6秒時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△DBC中，由于∠BDC=60°，CD=AB=8，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求出BC的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)到第6秒時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AB上，由此得到OD=6，AP=6，由∠BDC=60°得到∠BDA=30°，平移過(guò)程中∠BDA保持不變，所以利用三角函數(shù)的定義可以求出D點(diǎn)坐標(biāo)，接著可以求出A的坐標(biāo)，也就求出P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，已知條件可以求出點(diǎn)D和C的坐標(biāo)，接著求出P的坐標(biāo)，再用t分別表示PE、PF，最后根據(jù)矩形相似的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出t的值．
解答：解：（1）在Rt△DBC中，∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴；

（2）當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)到第6秒時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
即PF=，PE=，
若矩形PEOF與矩形ABCD相似，
①若，
∴，
解得t=8，
②若，
則，
解得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000638850479574/SYS201311030006388504795024_DA/16.png">＞8+8，此時(shí)點(diǎn)P不在BC邊上，舍去．
因此當(dāng)t=8時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B，矩形PEOF與矩形BADC相似．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合性比較強(qiáng)，把一次函數(shù)、平移、矩形及四邊形相似、三角函數(shù)等多個(gè)知識(shí)結(jié)合在一起，解題一定要循序漸進(jìn)，不急于求成，不過(guò)計(jì)算過(guò)程也比較多，對(duì)于學(xué)生的各方面的要求比較高．