Question

如果一個(gè)多邊形的各條邊相等，各個(gè)角相等，那么這樣的多邊形叫做正多邊形．當(dāng)這樣的多邊形邊數(shù)為n時(shí)，叫正n邊形，如n=3時(shí)稱為正三角形或等邊三角形，n=4時(shí)稱為正方形．
（1）春節(jié)期間，某單位要在正三角形花臺(tái)的三邊上擺放花盆，每邊上的花盆個(gè)數(shù)為m，花盆總數(shù)為S．其擺放情況如圖1：
按如此規(guī)律擺下去，當(dāng)m=2010時(shí)，花盆的總數(shù)為多少？
（2）如果我們要設(shè)計(jì)一組等邊三角形花臺(tái)，其邊長(zhǎng)依次為1，3，6，10，15，21，…（單位：米），按照如此規(guī)律，第n個(gè)三角形花臺(tái)與第（n-1）（n≥2）個(gè)三角形花臺(tái)周長(zhǎng)的差為多少？
（3）作出如圖2一組正方形，邊長(zhǎng)分別為1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個(gè)正方形開始，每一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都等于它前面兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)之和：
現(xiàn)分別依次從左到右取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，…，正方形拼成如圖3矩形，并記為①②③④…．
若按此規(guī)律繼續(xù)作矩形，請(qǐng)求出序號(hào)為⑩的矩形的周長(zhǎng)和面積（如果表示面積的數(shù)據(jù)太大，可列出式子，不必計(jì)算出最后結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）直接觀察圖形進(jìn)行解答，并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)每條邊有n盆花時(shí)，S=3m-3，代入數(shù)據(jù)即可求解；
（2）先根據(jù)題意得出通項(xiàng)公式a_n=

n(n+1)

2

，然后計(jì)算即可；
（3）按照前一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是后一個(gè)長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)與寬的和是后一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，依次進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）依題意得：①m=2，S=3=3×2-3．
②m=3，S=6=3×3-3．
③m=4，S=9=3×4-3
④m=10，S=27=3×10-3．
…
⑤按此規(guī)律推斷，當(dāng)每條邊有m盆花時(shí)，S=3m-3．
當(dāng)n=2010時(shí)，S=3×2010-3=6027；
（2）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)為

n(n+1)

2

，第n-1個(gè)數(shù)據(jù)為

(n-1)n

2

，
故

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，周長(zhǎng)差為3n；
（3）序號(hào)為⑤的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（8+13）=42，面積為：8×13
序號(hào)為⑥的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（13+21）=68，面積為：12×21；
序號(hào)為⑦的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（21+34）=110，面積為：21×34；
序號(hào)為⑧的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（34+55）=178，面積為：34×55；
序號(hào)為⑨的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（55+89）=288．面積為55×89
序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為2（89+144）=466．面積為89×144；

點(diǎn)評(píng)：主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．