Question

觀察下列關于自然數(shù)的等式：
3²-4×1²=5   ①
5²-4×2²=9   ②
7²-4×3²=13  ③
…
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
（1）完成第四個等式：9²—4×（     ）²=（    ）；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性.

Answer 1

（1）4，17；
（2）第n個等式為：（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1，證明見解析.

試題分析：由①②③三個等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，計算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1，由此規(guī)律得出答案即可．
試題解析：（1）3²-4×1²=5   ①
5²-4×2²=9   ②
7²-4×3²=13  ③
…
所以第四個等式：9²-4×4²=17；
（2）第n個等式為：（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1，
左邊=（2n+1）²-4n²=4n²+4n+1-4n²=4n+1，
右邊=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1．
左邊=右邊，
∴（2n+1）²-4n²=2（2n+1）-1．