Question

已知：射線OF交圓O于點(diǎn)B，半徑OA⊥OB，P是射線OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（不與O，B重合），直線AP交圓O于D，過(guò)D作圓O的切線交射線OF于E，
（1）圖a是點(diǎn)P在圓內(nèi)移動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形，請(qǐng)你在圖b中畫出點(diǎn)P在圓外移動(dòng)時(shí)符合已知條件的圖形；
（2）觀察圖形，點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中，△DPE的邊，角或形狀存在某些規(guī)律，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，比較，寫出一條與△DPE的邊，角或形狀有關(guān)的規(guī)律；
（3）在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)∠DEP的度數(shù)為x，∠OAP的度數(shù)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）按要求作圖即可．
（2）圖a中，連接OD，則∠OAD=∠ODA，由切線的性質(zhì)易得∠ODA與∠AOP都是直角，因此∠PDE、∠DPE（即∠APO）是等角的余角，由此可證得∠PDE=∠EPD，所以DE=EP，△DEP是等腰三角形；
圖b的證法同上，結(jié)論與圖a相同．
（3）由（2）知：△DEP是等腰三角形，即可由三角形的內(nèi)角和定理及頂角∠DEP的度數(shù)表示出∠DPE的度數(shù)，由于∠OAP、∠DPE互余，由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）圖象如右圖：

（2）∠EDP=∠DPE或ED=EP或△PDE是等腰三角形．
理由：圖a中，連接OD；
則∠OAD=∠ODA；
又DE切⊙O于D，
∴∠ODE=∠POA=90°，
∴∠OPA=∠DPE=∠PDE，即DE=PE，△DPE是等腰三角形；
圖b的證法與圖a相同，結(jié)論一致．

（3）由題意得△PDE是等腰三角形，
∴∠EDP=∠DPE，
∴∠DPE=

180°-x

2

；
在Rt△OAP中，y+

180°-x

2

=90°，
∴y=

1

2

x（0°＜x＜180°且x≠90°）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，難度適中．